Да,  ту тпонятно

Let’s characterize these ordered sets as categories. A preorder is a category where there is at most one morphism going from any object 𝑎 to any object 𝑏. Another name for such a category is “thin.” A preorder is a thin category. You may, however, have cycles in a preorder. Cycles are forbidden in a partial order.

А потом вот это идет

и я не понял, как мы сюда перескочили

Причем про полный порядок ничего вообще не написано, а потом мы делаем вывод дальше, что

The solution is to take a hint from ordered categories — they allow at most one arrow between any two objects: there is only one way of being less-than or equal-to another object.

эм ну типа если предъявить второй морфизм он будет эквавалентен первому

x и y в данном случае это два элемента множества?

или само множество?

нет тут множества еще

объект есть

Когда категорию используют для изображения множества с порядком (в книге), для каждого элемента множества есть свой объект.

Ок, вроде понятно

спасибо

The other source of asymmetry is that functions are allowed to map many elements of the domain set into one element of the codomain. They can collapse them. The extreme case are functions that map whole sets into a singleton. You’ve seen the polymorphic unit function that does just that. The collapsing can only be compounded by composition. A composition of two collapsing functions is even more collapsing than the individual functions. Mathematicians have a name for noncollapsing functions: they call them injective or one-to-one.

почему в книжке так написано? 1-1 это же биективность

А тут не биективность

нет, речь об инъективности

маппить один в один не значит, что попадёшь во все элементы

если удалить все элементы. в которые не попал, получится биекция.