Что такое M(m,m)? Как можно "применить" категорию? Это же не функция от двух аргументов

Это нотация такая просто

M(A,B) это множество морфизмов между объектами A и B категории M

для моноида A = B = m?

В книжке речь вроде только про локально малые категории, поэтому это всегда будет множество

я просто путаюсь когда под "объектом" понимается элемент множетсва, а когда всё множество сразу

M(m,m) это множество морфизмов из m в m

да, в контексте примера из книжки

понятно, спасибо

смотри, есть категория 1 с морфизмами {a, b} и композицией
a . a = a
a . b = b
b . a = b
b . b = b

(a, b, .) подходит и под (True, False, &&), и под (False, True, ||)

то есть композиция одинаковая, точность до переименования, считать ли это равенством или изоморфизмом я не знаю

ну, судя по всему, это уже обсудили

да, с точностью до изоморфизма

https://golem.ph.utexas.edu/category/2019/08/turing_categories.html
#paper

Почему про упорядоченные категории говорят что там не более одного морфизма между объектами?

разве нет 1 < 2 - true и 2 < 1 - false?

или морфизм существует только для истиных отношений?

упорядоченные категории: для всех a < b существует морфизм a -> b

что за true/false?

You can also have a stronger relation, that satisfies an additional condition that, if 𝑎 ⩽ 𝑏 and 𝑏 ⩽ 𝑎 then 𝑎 must be the same as 𝑏. That’s called a partial order.

Finally, you can impose the condition that any two objects are in a relation with each other, one way or another; and that gives you a linear order or total order.

думаю тут поможет понимание отношений как подмножества декартова произведений

N := 0 | S(N)
a <= b := trans_closure(refl_closure({ (n, S(n)) | n in N }))

где refl_closure добавляет в отношение { (n, n) | n in N } и trans_closure добавляет { (a, c) | (a, b) in (<=), (b, c) in (<=) } бесконечно раз

то есть

(<=) = { (0, 0), (0, 1), (0, 2), ..., (1, 1), (1, 2), ..., (2, 2), (2, 3), .... }
a <= b  :=  (a, b) in (<=)

в категории отношение наличия морфизма между двумя объектами как рефлексивно и транзитивно, поэтому если есть морфизм между a и b, значит a <= b

Ну пока все понятно

ну вот a = 2, b = 2
a <= b есть морфизм 2 -> 2
b <= a есть морфизм 2 -> 2
значит a = b, 2 = 2