Без нее тоже пытались сделать как-то раз. Вроде в общем случае у них не получилось, но частично что-то можно там сделать, не помню точно что.

я тут думал, мб можете попинать, но вот у нас композиция функций с точки зрения логики это тавтология, для функции fmap это композиция, но мы также знаем, что для Yoneda f ~ f
выходит, что функтор это тоже тавтологическая конструкция?

друзья, я тут вломился в хаскельную конфу с вопросом, почему fmap и <*> для функтора (r->) реализованы именно так, как они реализованы (почему fmap - композиция), но, к сожалению, основной тезис, который до меня пытаются донести - "то, что fmap на (r->) это композиция - так вышло случайно, смысла в этом нет, надо просто принять, как есть".

можете, пожалуйста, просветить? я пытаюсь обрести понимание того, каким образом (r->) вообще функтор, кроме того, что для него можно написать реализацию, удовлетворяющую законам функторов

Пусть есть произвольная категория. Зафиксируем в ней объект A. Для любого объекта B по определению категории имеем множество морфизмов Hom(A, B) из A в B. Тем самым мы можем определить функтор из нашей категории в категорию множеств (главный ковариантный функтор) — отправив объект B в множество  Hom(A, B). Но функтор также нужно задавать на морфизмах: нужно отправить морфизм phi из B в C в отображение множеств из Hom(A, B) в Hom(A, C). Самый "естественный" способ сделать это — взять морфизм f из A в B (элемент множества Hom(A, B)) и "приписать" к нему phi слева (взять композицию phi . f), получив морфизм из A в C, то есть элемент Hom(A, C). Такой способ работает для любой категории в связи с тем, что композиция и её ассоциативность (как и множество морфизмов) "зашита" в определение категории. Из ассоциативности композиции как раз выводится свойство F(f . g) = F(f) . F(g). Какого-то другого общего способа задать такой функтор на морфизмах (так, чтобы он сохранял композицию) не придумать.

Если говорить о функторах в Set, то да, насколько я слышал, функтор можно задать как какой-то мэппинг объектов во множества и соответствующих морфизмов в элементы соотв. множеств, то оставшаяся часть определения функтора может быть восстановлена через лемму Йонеды.
Но функторы бывают не только в Set

Иногда на множестве Hom(A, B) задана дополнительная структура (например, морфизмы можно складывать), поэтому этот функтор иногда можно рассматривать не как функтор в категорию множеств, а как функтор в какую-то другую категорию (например, в категорию абелевых групп).

Ну или в случае хаскеля, совокупность функций, принимающих аргумент типа A и возвращающих значение типа B, образует не просто множество, а отдельный тип A -> B. Отсюда и получается, что в хаскелле (r->) оказывается (эндо)функтором именно с таким fmap.

Другое объяснение заключается в том, что функция это по существу множество пар аргумент-значение, поэтому тип функций A -> B можно рассматривать как прямое произведение "копий" B, проиндексированное элементами A (тут есть тонкость с вычислимостью). А самый естественный способ fmap'ить произведение — это применять функцию покомпонентно. Но в нашем случае это и будет композицией.

Если дополнять ответ Андрея офтопом, то fmap на (->) r требует задания функции
(a -> b) -> (r -> a) -> (r -> b) в условиях параметричности у вас в действительности нет выбора, как такую функцию задать, приведённый fmap -единственно возможный

у @alexknvl есть популярный доклад, как доказывать подобные вещи, пользуясь как раз леммой Йонеда

если кто не читал ещё - https://alexknvl.com/posts/counting-type-inhabitants.html

Слайды Коновалова и Эмили Пай с воркшопа Isomorphic Reasoning: Counting with Types на LambdaConf [PDF] https://github.com/cohomolo-gy/Isomorphic-Reasoning/blob/master/main.pdf

Версия из доклада

@akifoq @odomontois спасибо за ссылки и объяснения, стало немного понятнее

Добрый день, может ли кто-нибудь кратко разъяснить основные положения FQFT?

звучит как работа для Урса Шрайбера!

Это кто? Можете скинуть его страницу на архиве?

но я думаю вам больше поможет его страница на катлабе https://ncatlab.org/nlab/show/Urs+Schreiber

или даже можно сразу задать ему вопрос в твиттере https://twitter.com/SchreiberUrs