A
несюрьективную функцию можно разложить на две - сюрьективная в "образ" и потом инъективная в B. Это кажется называется эпи-моно-разложение
Size: a a a
2019 October 17
AK
Корректно ли вообще сравнивать объекты в категориях или мы можем сравнивать только морфизмы?
A
в некоторых категориях можно сравнивать объекты. В общем случае наверно нет.
AK
то есть если мы говорим про Set и не оперируем понятием подобъекта, то кодомен морфизма f: A → B нам говорит только то, что это какое-то подномножество из B?
A
собственно мы можем дальше сделать B->2, такое что для любого a из A, f(a) попадает в 1, а все остальные элементы B попадают в 0.
A
и тем самым получим ровно то, что называется "подмножеством" в B
AK
т.е. образ будет третьим объектом. Тогда вытекающий вопрос: в понятии конуса у нас есть вершина + множество морфизмов в проиндексированные объекты, можем ли мы говорить, что вершина хранит в себе информацию об всех этих объектах?
A
а тут мне надо задуматься и вспомнить, что же именно требуется от конуса. По-моему конус может быть совсем дурным, например в качестве вершины может быть конечный объект.
AK
Как тогда понять фразу «диаграмма коммутирует» — каким бы путём мы ни пошли из объекта A мы всегда придём в нужный объект B?
AK
Получается что в Set мы можем попасть в разные подмножества B, но при этом диграмма будет коммутировать?
A
но ведь не будет же
AK
я вот и не понимаю почему :(
A
если мы попадаем в разные подмножества, то значит есть такое b в B, что есть a в A, такое что f(a) = b, но ни для одного x из A g(x) не равно b
A
а значит g(a) не равно f(a)
AK
f: N+0 → N = (+1), g: N+0 → N = (+2), тогда и f ≠ g, но оба они N+0 → N
AK
или на двух объектах некорректно говорить про коммутация диаграмм?
A
ну это вот две различные стрелки
A
ничего ни с чем не коммутирует
AK
т.е. диаграмма коммутирует — это про равенство именно стрелок, не объектов?
A
когда мы говорим про коммутацию, это значит что есть два (или больше) разных пути, и если мы по ним пойдем, то результат будет ровно тот же самый