Oℕ
Кого эквивалентными обьявлять
трункейтнуть (схлопнуть) пространство всех инъективных функций между парой множеств в один элемент отношения
Size: a a a
2019 October 10
IJ
Не могу сказать, что это максимально интуитивно для меня.
IJ
Если я правильно понимаю, в этом примере мы порядок задаем на некотором множестве множеств?
Oℕ
На классе всех множеств, да
Oℕ
предпорядок
Oℕ
ну точнее, предпорядок с уточнением, что изоморфные множества будем считать равными
IJ
Ок, конструкция вроде ясна, спасибо
AG
Алгебра, мне кажется, важнейшая математическая дисциплина для программистов.
после логики ;)
NI
А они нужны в программировании?
До половины таких штук, смогут когда-то пригодиться.
ЕО
после логики ;)
Которая идёт после теории вычислений :)
AG
ну это для тех программистов которые собираются что то вычислять :)
Oℕ
которая идёт после дискретной математики, которая идёт после алгебры, круг замкнулся
NI
Чуть более подробно напишу, чем Евгений.
Как известно, множество всех подмножеств множества A является булевой решёткой. Опишем это категорно.
Рассмотрим все инъекции X→A.
Каждая инъекция будет определять какое-то подмножество.
Но могут быть две инъекции X₁→A и X₂→A, которые определяют одно и то же подмножество.
Тогда мы скажем, что если есть изоморфизм (биекция) X₁→X₂, то считаем, что это определение одного и того же подмножества.
Как известно, множество всех подмножеств множества A является булевой решёткой. Опишем это категорно.
Рассмотрим все инъекции X→A.
Каждая инъекция будет определять какое-то подмножество.
Но могут быть две инъекции X₁→A и X₂→A, которые определяют одно и то же подмножество.
Тогда мы скажем, что если есть изоморфизм (биекция) X₁→X₂, то считаем, что это определение одного и того же подмножества.
NI
Но как определить вложение подмножеств друг в друга?
А вот как.
А вот как.
NI
Если есть вложение-инъекция множеств X₁→X₂, то у нас и подмножества A тоже будут вкладываться, т.е., X₁→A будет вкладываться в X₂→A.
Более кратко, это можно описать, как категорию мономорфизмов над A, ещё называют slice-категорией или over-категорией или C/A (только обязательно надо указывать, что мономорфизмов).
Объектами этой категории являются моноформные (в Set, они называются инъекциями) стрелки X→A, морфизмами между X₁→A и X₂→A являются коммутативные треугольники из этих двух стрелок и X₁→X₂.
Легко видеть, что изоморфным объектам этой категории соответствуют "одни и те же" подобъекты A, ну или подмножества, если мы расматриваем множества.
Это то же самое, что я выше написал.
Более кратко, это можно описать, как категорию мономорфизмов над A, ещё называют slice-категорией или over-категорией или C/A (только обязательно надо указывать, что мономорфизмов).
Объектами этой категории являются моноформные (в Set, они называются инъекциями) стрелки X→A, морфизмами между X₁→A и X₂→A являются коммутативные треугольники из этих двух стрелок и X₁→X₂.
Легко видеть, что изоморфным объектам этой категории соответствуют "одни и те же" подобъекты A, ну или подмножества, если мы расматриваем множества.
Это то же самое, что я выше написал.
NI
Можно даже обойтись и без мономорфизмов, но тут надо подробности.
NI
Понимать хорошо эту категорию (а так же, категорию уже любых стрелок над A) строго необходимо для понимания категорной семантики зависимых типов.
Но это только малая часть...
Но это только малая часть...
Oℕ
Если есть вложение-инъекция множеств X₁→X₂, то у нас и подмножества A тоже будут вкладываться, т.е., X₁→A будет вкладываться в X₂→A.
Более кратко, это можно описать, как категорию мономорфизмов над A, ещё называют slice-категорией или over-категорией или C/A (только обязательно надо указывать, что мономорфизмов).
Объектами этой категории являются моноформные (в Set, они называются инъекциями) стрелки X→A, морфизмами между X₁→A и X₂→A являются коммутативные треугольники из этих двух стрелок и X₁→X₂.
Легко видеть, что изоморфным объектам этой категории соответствуют "одни и те же" подобъекты A, ну или подмножества, если мы расматриваем множества.
Это то же самое, что я выше написал.
Более кратко, это можно описать, как категорию мономорфизмов над A, ещё называют slice-категорией или over-категорией или C/A (только обязательно надо указывать, что мономорфизмов).
Объектами этой категории являются моноформные (в Set, они называются инъекциями) стрелки X→A, морфизмами между X₁→A и X₂→A являются коммутативные треугольники из этих двух стрелок и X₁→X₂.
Легко видеть, что изоморфным объектам этой категории соответствуют "одни и те же" подобъекты A, ну или подмножества, если мы расматриваем множества.
Это то же самое, что я выше написал.
это группоид получился? X₁→X₂ всегда изоморфизмы тут?
NI
это группоид получился? X₁→X₂ всегда изоморфизмы тут?
Нет. Я рассмотрел сначала описание, что такое вообще подобъект.
А потом уже их категорию.
В их категории, X₁→X₂, это любые стрелки, лишь бы треугольник получился коммутативный.
А потом уже их категорию.
В их категории, X₁→X₂, это любые стрелки, лишь бы треугольник получился коммутативный.