Elena Vasiljeva
Дочитал статью академика Александрова (того самого, который был ректором Ленинградского университета, а потом переехал в наш Академгородок) «Математика и диалектика» (1970), настоятельно рекомендую всем интересующимся проблемой применения диалектического метода.
https://beskomm.livejournal.com/107649.htmlhttps://beskomm.livejournal.com/107934.htmlЗамечу, что Александров определяет диалектику как «фундаментальный, универсальный метод теоретического сознания, логику образования новых понятий».
И приводит характерную в контексте обсуждения выше цитату из Ленина:
«Раздвоение единого и познание противоречивых частей его есть суть (одна из „сущностей", одна из основных, если не основная, особенностей или черт) диалектики. Так именно ставит вопрос и Гегель... На это сторону диалектики обычно... обращают недостаточно внимания: тождество противоположностей берется как сумма примеров [„например, зерно"; «например, первобытный коммунизм». Тоже у Энгельса. Но это «для популярности»...], а не как закон познания (и закон объективного мира)»
Почему мне так нравится эта статья Александрова? В ней я впервые прочитала в концентрированной форме, спокойно и ясно - историю математики. Историю нуля, диалектику конечного и бесконечного, дискретного и непрерывного, аксиоматического и эмпирического. Всё это, в принципе, знают и изучают к 4-5 курсу механико-математического факультетов, но так компактно и чётко - мало кто формулирует это.
В добавок стоит отметить, что я лично защищалась в сфере булевозначного анализа (в булевой логике истинность определяется не как "истинно-ложно" (или 0 и 1), а как мера подмножества континуального множества мощностью в единицу).
Ну и цитаты по существу.
"Никакая сколько-нибудь содержательная часть математики не может быть полностью формализована, а для той, которая формализована, непротиворечивость не может быть доказана в рамках формализовавшей ее системы".
"Таким образом, самое математику обусловливает более первоначальный, фундаментальный и более универсальный метод теоретического сознания — диалектика, логика образования новых понятий, логика, в частности, формирования и общего исследования аппаратов — понятий, формальных теорий математики".
"Противоречие содержится в самой сущности математики, определяемой абсолютизацией ее абстракций. Возникнув из практики, как физика, она превратилась в чистую математику, имеющую своим предметом идеальные объекты и исключающую аргумент опыта. Однако отображение в понятии даже малейшего элемента действительности никогда не бывает полным, абстракция выхватывает некоторый, пусть существенный и общий, но все же только некоторый аспект. Поэтому абсолютизированная абстракция неизбежно содержит в себе элементы, каких нет в действительности, и вместе с ними момент заблуждения, тем более, что она абсолютизируется".
"Математика создает свои аппараты, и бессмысленно говорить о том, истинны они или ложны: аппарат либо работает, либо не работает... Совершенно так же нелепо спрашивать: «Истинный это станок или ложный?»; станок просто есть, и осмысленным является вопрос о том, как он работает, на что он годится. Так и идеальная техника математики с ее аппаратами просто есть, она существует как особая форма социальной действительности и работает в своей сфере не хуже материальной техники. Вопрос об истине встает лишь в применениях математики, и ответ зависит уже не от нее самой, а от того, насколько правомерно данное ее применение".
