Хочу написать письмо профессору с просьбой о стажировке удаленной, дайте совет как правильно это сделать, про что указать в мотивации, раньше он почти год назад отказывал, говорил если буду дальше так,то настроит себя против меня и говорил что нет перспектив у меня
Если он говорил, что нет перспектив у тебя, то ему и нет смысла писать.
Если опыта мало, лучше все-таки начать с очных стажировок - это проще организовать.