If j is the elementary embedding mentioned in one of these axioms and κ is its critical point, then λ is the limit of {\displaystyle j^{n}(\kappa )} {\displaystyle j^{n}(\kappa )} as n goes to ω. More generally, if the axiom of choice holds, it is provable that if there is a nontrivial elementary embedding of Vα into itself then α is either a limit ordinal of cofinality ω or the successor of such an ordinal.

Вот как раз про аксиому выбора. Есть точка зрения что это не совсем правильный подход. Как раз у тех кто не является сторонниками ZFC

Я не вполне являюсь сторонником и ZF тоже ;-)

Есть кстати теория множеств Акермана, она гораздо ближе к теории категорий

Есть ETCS, она ещё ближе ;-)
https://ncatlab.org/nlab/show/ETCS

Alert! Sarah♧ Singh is a known spammer and is CAS banned. Ban is strongly recommended.

Ну это просто переформулировка красивая, на уровне оснований это нам ничего не даёт. Да и с аксиомой выбора или без это тоже схоластический вопрос: если есть универсум Гротендика в теории множеств, то они друг в друге моделируются

Согласен, конечно.

Всё-таки, я не согласен ;-)
Структурная теория множеств сама по себе, если рассматривать её, как теорию множеств, даёт немногое.
Но база для остального, она уже интереснее.
Хотя и кто-то, моожет быть, скажет, что например, вот такая формулировка
https://ncatlab.org/nlab/show/universe+in+a+topos
ничего не даёт, по сравнению с классическим определением вселенной Гротендика.
Это более другие основания, чем множества.
И так же критиковать вот это
https://ncatlab.org/michaelshulman/show/category+of+all+sets
А за ним, и теорию категорию "вообще".
И упрямся в том, что категории ничего не дают, это просто переформулировка такая красивая.
И в какой-то степени, это правда.
;-)

Я скажу так -- категории ничего не дают для foundation :)

Что не отменяет их полезности для алгебраических исследований (например)

Так и полезности для исследований foundation тоже!

В принципе да, но для этого не обязательно иметь категории как объект первого порядка.

Более того формулировка с категорией множеств considered harmful, потому что размывает понимание теории множеств как предикативной иерархии универсумов. В результате самый большой универсум нам в такой формулировке даётся не непосредственно, а через производный объект (категорию).

> теории множеств как предикативной иерархии универсумов.
Так может быть и предикативная иерархия не множеств, а чего-то другого, внутри которого множества можно определить ;-)
Множества обязательно должны существовать в теории, как базовая часть?

Интереснее тут бы было сделать что-то в духе хотт, где нам даны как объекты первого порядка инф-группоиды

Ну да. И ∞-группоиды и их категорию, конечно, определять некатегорно ;-)

Ну пока мы видим, что любая иерархия множеств вкладывается в множество побольше и нет тому вложению предела

Обычная математика копошится на дне этой иерархии

Видим, конечно. Если строим иерархию множеств.
А если строим иерархию категорий, то уже как-то всё не так однозначно.