не знаю, что такое автоморфизм, но он вроде бы (взаимно) однозначно задаётся последовательностью произвольных натуральных чисел - номеров ещё не выбитых. так что не судьба со счётностью.
так он не обязательно окажется сюръекцией, но если через раз втыкать на минимум, то легко предъявляется их несчётное множество. а что континуума хватит - уже совсем очевидно.