А чем вас не устраивает приложение Яндекс.Чаты?
Не пользовался, не знаю — может быть и устраивает. Если есть возможность связать его с чатом для бизнеса (который в виде виджета на сайте, в SERP Яндекса и веб-консоли администратора), получать уведомления от новых чатах с клиентом и сразу же из этого приложения им отвечать — тогда, да, устраивает. Если же чего-то из перечисленного там нет (а у меня подозрение, что ничего нет) — тогда, увы, это не то что требуется в данном случае.