Походу вкурил. А норма ||x|| определятся как длина вектора. Норма синоним длине и все?
Вещественное векторное пространство задается структурой(свойствами).
И отталкиваясь от его дефолтных свойств можно определить понятие нормы как длины, или же расстояния между двумя точками A и B.
Но не просто ||x||, а ||x||=d(A,B).
Для нормы будут справедливы основные аксиомы отрезков и углов: отрезок ненулевой длины; неравенство треугольника ну и помножение оного на скалярное число.
книги всякие читай, это же все есть в открытом доступе, особенно то, о чем ты сейчас спрашиваешь.