Вуй не опускает - это делает бэк при обработке модели.
А ошибка может быть потому, что при передаче инстанса юзера наружу этот атрибут не тригерится (не указан в $appends либо не вызывается ->append('avatar_thumb') к самой модели.
Vuejs НИКАКОГО отношения к php не имеет. Из php ты лишь передаёшь данные в формате json. Объект класса PHP не может быть вызван и использован в JS, это абсолютно разные вещи. Если вы этого ещё не понимаете, то рано лезете в фреймворки.