Скорее всего ничего дурного не случится. Но всё зависит от ответа сервера, если ответ долгий, то запросов может висеть целая пачка. Очерёдность тут тебе не принципиальна, но тоже не гарантирована, имей в виду. Наверное стоит сделать что-то подобное, вместо того чтобы плодить неконтроллируемые промисы.
async function refresh () {
await fetch(something)
console.log('fetch completed, wait 1s')
setTimeout(refresh, 1000)
}