Ядро - это аугментационный идеал, нужно просто взять вот эту симплициальную резольвенту, взять её абеленизацию, и вот окажется, что гомотопические группы абеленизации резольвенты это как-раз таки многочисленные гомологии нашей группы G. Ну и потом все просто напросто тензорно умножить.
к слову, это прекрасно, например, описано в книге Квиллина «Гомотопическая алгебра», во 2 части