Фух, я думал у меня уже крышечка едет) Ответ на мой вопрос всё же не очевиден. Приведу абзац из блога:
"Ваш оператор сможет отвечать на сообщения клиентов через операторский интерфейс, который также появился с сегодняшнего дня в Яндекс.Диалогах и Справочнике: сообщения будут поступать из Поиска, Алисы и из виджета на вашем сайте, главное, не забудьте его установить. Это можно сделать из раздела «Виджет» настроек чата."