прописку в загране не видно, так что вполне должно канать для временного ввоза двойное гражданство.
Просто есть две отдельных процедуры - прохождение паспортного контроля - это ФПС, а прохождение таможенного контроля - ГТК. Два разных ведомства, две отдельных процедуры.
По сути границу вы пересекаете, как гражданин России (ФПС), а таможенное оформление ввозимого автомобиля и иного имущества проходите как гражданин Грузии (в ГТК)