Александр
У тебя падает NPE на response.body().toString().
Возьми дебаггер и пойми, почему у тебя там null. Дело не в ассинхронном запросе.
И пиздани себя клавой в первую очередь, умник. Всё тебе правильно сказали. Иди и гугли про коллбеки, статью ему подавай, лол.
Не, погоди, он же пишет, что хочет "обратиться вне метода onResponse". Я думаю, что падает у него на строке Log.v(TAG, request.toString());, судя по стэктрэйсу. А этот метод вызывается, естественно, раньше, чем приходит ответ.