как я могу FutureBuilder передать на другой класс?
Предположу, что ты хочешь одни и те же данные с сервера отобразить на разных экранах. Тогда пора смотреть на State Management решения, в частности, на Provider.
А ещё у тебя ошибка: fetchData() прямо в FutureBuilder.
Будет срабатывать при каждом ребилде виджета, обсуждалось буквально вчера.