Ну можно так же через провайдер, как я выше описал.
В Auth залогиниться, в нем хранить токен, и там же создать Dio, и в другие провайдеры, которые его юзают, пробрасывать в конструктор не токен, а сразу ссылку на клиент. Вот, можно даже без синглтона обойтись.