Есть вариант почту пустить через Почтовый клиент, а веб запретить полностью.
Но я на 100% уверен (такая специфика у начальства), они через некоторое время скажут, чтобы открыли какие-нибудь сайты.. мол для работы надо. Поэтому я хочу предугадать этот момент и работать по схеме: Запретить все, кроме разрешенных
Уже довольно давно различные элементы на сайтах могут ссылаться на различные сторонние ресурсы. В том числе на различные CDN. Отлавливать все связи для белого списка - такое себе.