вообще вы не должны для пруфа ничего им отправлять. Насколько я понимаю, тут уже вашего и их слова достаточно чтобы они могли юридически пристать, если вы их кинуть соберетесь.
Не понимаю что мешает подписать контракт удалённо сейчас с добавлением предложения что депозит должен быть переведён до определенной даты. И вообще нелогичная причина почему подписывать в день переезда