Вот ТЗ:- Проверять email на существование. Это значит после ввода email отправлять на почтовый ящик запрос, если получаем ответ о несуществующем почтовом ящике выдавать на JS ошибку, что почтовый ящик не существует и не давать отправить форму. Некоторые почтовые сервисы не вернут такой ответ, даже если ящика нет. В таком случаем считаем email существующим
Есть сервисы для проверки, значит можно проверить, если сервер почты настроен корректно. Но опять же это не гарантия. Сервер почты может не ответить нужным образом и проверка не пройдёт. Это фигня, а не тз. Покажите хоть один вменяемый сайт с такой проверкой.