С
1) сделать отдельный блок для асинхронного контента (например между пагинацией и постами)
2) когда пользователь вызывает нужное событие, и вам приходит ответ с сервера, конкатенируйте innerHTML c новым содержимым.
3) После этого, на jquery или ваниле, как вам удобно нужно выбрать только те контейнеры для карусели, которые еще не были инициализированы. Можно проверять самим сликом (не точно) или добавлять свой дата атрибут например data-loaded. Ну или просто на атрибуты слик карусели.
—-
UPD: Что касаемо скрина выше, я думаю jquery не находит элементы, которые вы пытаетесь проинциализировать как слик карусель .slick()