Во-первых, конструкций моноида несколько штук. Не все из них применимы к розовой мечте построения моноида на категории эндофункторов для "наканецта" врубания в монады. Во-вторых нет, могу просто продолжать.
Моноид в данном случае строится как категория C с дополнительной структурой. Задано тензорное произведение ψ :: (C, C) -> C, его единица, это какой-то объект I.
Ассоциативность и аксиомы единицы записываются в виде условий для выше заданных морфизмов. Для категории эндофункторов тензорным произведением берём композицию функторов, единицей — Id, тождественный функтор.
У тензорного произведения тоже есть categorical counterpart, как и у многих других понятий. Вообще рекомендую просто почитать nLab, они лучше объясняют.
Shameless plug: у Бартоша Милевски есть цикл видео аля теоркат для самых маленьких, я переводил на русский язык. В его блоге более подробно. Блог переводил не я, есличё.
