Вот в Чехии например так: ты работаешь, работодатель платит за тебя страховку. Ты уволился- работодатель информирует страховую компанию что ты уволился и они закрывают договор для сотрудника-иностранца, и никаких должен там или ещё что-то.
Ну а в Германии не так, здесь обязательное медицинское страхование, и кстати страховку платят оба тут - и работодатель и работник, но это детали. С паспортом ЕС может какие-то другие детали, тут не подскажу, у меня информация для тех у кого ПМЖ