Не знаю на сколько это зайдёт , но попробуй в .htaccess исключить файл function.php из Кеша , как-то так ( лучше уточнить у гугла ) <FilesMatch ".(pl|php|cgi|spl|scgi|fcgi)$"> Header unset Cache-Control </FilesMatch>
Не, он сам functions.php не кэширует, он кэшируют страницу на которой происходят изменения. Отключить кэш для всей страницы не вариант
Надо, только чтобы не кешировались категории и меню. Гуглю сейчас про Litespeed, может что получится. В самом плагине есть исключения для категории, но это не список категорий, а запрет на кэш всех страниц из категории по слагу