"Слушай" значение инпута каждый раз когда пользователь кликает на клавишу, вызывай в компоненте метод который отправляет в сервис актуальное значение и сохраняет где то там. А в другом компоненте считывай сохранненое значение
Создай бэхавиорсабджэкт в сервисе в который будешь записывать текст для поиска и метод который некстает значение. Так ты сможешь также следить стрим изменения твоего поиска