Я правильно понимаю механизм?

Имеется сайт, на котором нужно отследить источник перехода и на котором находятся кнопки написать в мессенджер.
При нажании на кнопку, нужно подставить сообщение в зависимости от того, с какой сайта пользователь перешел на целевой сайт

Или на сайте есть три кнопки, каждая из которых должна подставить свое сообщение?

этот

Сайт каким образом сделан? Конструктор или что-то самописное?

ленд на конструкторе

Если конструктор позволяет внедрять кастомный код и/или html, то нужно:

1. Пометить все ссылки, которые ведут на этот сайт UTM-меткой или еще каким-нибудь параметром
2. Написать скрипт, который будет доставать эту метку из адреса и заменять содержимое ссылки на соответствующее. Сам текст для простоты хранить просто в клиентском скрипте в виде объекта

Заголовкам я бы не доверял в этом плане, если включен doNotTrack или режим инкогнито, все сломается

Готовых решений посоветовать не могу, разве что Yagla что-то похожее делает (или делала) с заголовками и текстами, может быть у них есть возможность подменять ссылки тоже.
Ну и в Google Tag Manager какой-то функционал для этого есть.

Гуглить можно по запросам мультилендинг динамические заголовки на сайте

ой йой

лучше тогда, чтобы сами клиенты написали эти слова

Да не, все не так страшно)
Первая ссылка из гугла

https://leadmachine.ru/2016/05/11/dinamicheskij-kontent-prevrashhaem-odin-lending-v-neskolko/

Это только для подставки сообщения, еще нужно по условиям запускать бота

если первое сообщение такое, то тот бот

Это только на содержимое ссылки влияет, концепцию можно оставить ту же

крч, это половина решения вопроса

За полным решением думаю стоит обратиться к интеграторам, которые это просто сделают под ключ 🙂
Это не рокетсаенс и вариантов решения - масса

Можно реализовать, запускать ботов по первому словому через радист или собрать таких же ботиков в salebot

прост для упрощения клиентам, чтобы они не вводили слово

а сразу подставилось

нужное

Да можно, вариантов решения несколько в зависимости от сервиса через который идёт интеграция мессенджеров в amoCRM