немного не понял как композируют L * R, у них же не совпадают типы

должно быть L * g * R, нет?

или может картинка к тексту не относится?

Это же функторы

но если L*R сделать то получаешь Id

Да

ну и функтора из a может не быть

тогда их не скомпозить

Или нет

Adjunction is even weaker than equivalence, because it doesn’t require that the composition of the two functors be isomorphic to the
identity functor. Instead it stipulates the existence of a one way nat264
ural transformation from 𝐼𝐃 to 𝑅 ∘ 𝐿, and another from 𝐿 ∘ 𝑅 to 𝐼𝐂. Here
are the signatures of these two natural transformations:
𝜂 ∷ 𝐼𝐃 → 𝑅 ∘ 𝐿
𝜀 ∷ 𝐿 ∘ 𝑅 → 𝐼𝐂
𝜂 is called the unit, and 𝜀 the counit of the adjunction.

У нас как раз L * R, то есть оно должно быть равно Ic

Хотя возможно они и имеют в виду что (𝑎 ⇒ 𝑏) × 𝑎 = b

Блин, они это и написали, я скобки не так расставил

Notice that the 𝑒𝑣𝑎𝑙 morphism1
is nothing else but the counit of this
adjunction:
((𝑎 ⇒ 𝑏) × 𝑎) → 𝑏
where:
(𝑎 ⇒ 𝑏) × 𝑎 = (𝐿 ∘ 𝑅)𝑏

спасибо

но я не понял все же как диаграмма коммутирует. Объект a => b я вижу, а объект а - нет

Не нужен он на этой диаграмме.
Показано действие L на произвольном объекте z — сопоставление с (z, a). Показано действие R на произвольном объекте b — сопоставление с объектом (a -> b).

Попробуй вместо z подставить (a -> b), это же твоя композиция.

хм, точно